反正切函数图像(反正切函数和差角公式推

这个“公式”并不总是对的，因为 arctanx 有一个主值区间的问题。

虽然有　-π/2＜arctana＜π/2，-π/2＜arctanb＜π/2，

但是无法保证有　-π/2＜arctana-arctanb＜π/2。

下面的反例，就充分说明了此式是错误的。

a=-√3，b=√3，(a-b)/(1+ab)=√3，

arctana=-π/3，arctanb=π/3，arctan[(a-b)/(1+ab)]=π/3；

而 arctan[(a-b)/(1+ab)]和arctana－arctanb 显然是不相等的。

这个错误产生的根源是所

使用的错误“依据”：arctan[tan(A-B)]=A-B。

本质问题是忽略了 arctanx 有一个主值区间的问题。

尽管有　-π/2＜A＜π/2，-π/2＜B＜π/2，但不足以保证-π/2＜A-B＜π/2。

这个等式 arctan[(a-b)/(1+ab)]＝arctana－arctanb 成立的充要条件是：

-π/2＜arctana-arctanb＜π/2。

最简单的充分条件是：　a,b同号。

他可以确保　-π/2＜arctana-arctanb＜π/2。

但a,b同号，并不是　-π/2＜arctana-arctanb＜π/2　成立的必要条件。

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