本题：要么挺有意思，即有解，前提是不要涉及无穷大或无穷小；要么不可思议，即无解，前提是必须涉及无穷大或无穷小。

▲那些高智商的悖论与不可能的图片，您知道的有哪些？

实数范围，有一个绝对零悖论

大家知道，第二次数学危机，是指凡是涉及无穷小的任何参量都可能导致不存在或无意义。

这个危机原因在于，若一个实数x涉及无穷小，即：dx=1/∞→0，则会涉及绝对零“0”。

这里的0=Ø=虚无——作为纯数学理念——在现实世界中是“不存在”的，也是无意义的。

在量子力学中，把量子归于零维质点，即量子体积v=0=Ø，导致密度无穷大灾难；在广义相对论中，把空间归于纯几何弯曲空间，即真空质量m=0=Ø，导致超距作用灾难。

可见，在数学世界里，零0与空集Ø，有时是同一个意思。虽然集合论规定零属于实数集，空集不属于实数集。但是这个规定在许多问题里几乎没什么约束力。

▲这张平面图，你可能感觉是三维的。

实数分类，有一个概率学悖论

在实数集范围内，就概率而言，任意一个实数，可能是有理数，也可能是无理数，可选择概率各有50%。

其一方面，这与常识——有理数是离散的少数，而无理数是连续的多数——是不一致的。

另一方面，根据定义，无理数小数部分是无限不循环小数，有理数小数部分是可循环小数，它们都可以写成：

f(x)=0.x₁x₂,...,xₙ

=10⁻¹x₁+10⁻²x₂+,...,10⁻ⁿxₙ

=Ω+dx，其中，

Ω=10⁻¹x₁+10⁻²x₂+,...,是有理数；

dx=10⁻ⁿxₙ(n→∞)是一个无穷小量。

可见，任意无理数的小数部分，总可等于有理数Ω与无穷小量dx=10⁻ⁿxₙ(n→∞)之和。

这个无穷小量的系数xₙ，不外乎是不大于9的自然数之一，即：xₙ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}。

不管是有理数还是无理数，其无穷小量的极限都是零，dx=10⁻ⁿxₙ(n→∞)≈0，有两个取向：

就有理数而言，xₙ是唯一确定的，对应的dx是有理数，这大概是有理数的本质。

就无理数而言，xₙ是不可确定的，对应的dx是无理数，这大概是无理数的本质。

换句话说，要么出现有理数(R=Ω+dx)，要么出现无理数(I=Ω+dx)，它们的概率都是50%。

而就f(x)的有理数部分(Ω)，有理数(R)与无理数(I)的数值是一样一样的；因为无穷小量部分(dx)没什么实际意义。

由此我们不妨说，就概率学而言，实数集中的有理数与无理数的个数比例是1:1。

换一个思路讨论有理数与无理数的区别

由于有理数与无理数的区别，归根结底，取决于小数部分的那个无穷小量dx=10⁻ⁿXₙ(n→∞)的n的确定性。

故我们若把有理数假设为纯小数x，相关的无理数假设为sinx=sin(π/n)(n>π)，有理数所含无穷小量为dx=10⁻ⁿxₙ(n→∞)，无理数所含的无穷小量dx=d(sinx)=d(sin(π/n)(n>π))。

由于d(sinx)/dx=limsinx/x(x→0)=1，可见，有理数的实质部分dx与无理数实质部分d(sinx)，就实用数值而言，没什么区别。

换句话说，有理数与无理数的概率是完全平权的，所谓“有理数离散vs无理数连续”，不过是数学哲学理念上的“意淫”而已。

必须清醒认识到，现实世界绝不存在完备的数学关系，天体的绕旋轨道，没有一个是封闭的椭圆，更不是理想的圆圈。粒子的轨迹本该是连续的，可是测量结果似乎是跃迁式的。

▲夸克环的半径是质子的半径吗？氕原子的原子核的半径究竟如何确定？有无理数意义吗？

在物理世界，只要测量单位足够小，测量精度足够精细，例如精度在10⁻⁷象如3.1415926之有理数，相比于π，都可以认为是连续值。

事实上，精确性尺度要与测量对象相对应，并不是越精细越好，这里还涉及人择原理。

▲小质量的天体，真的是严格按封闭的椭圆轨道围绕大质量天体焦点循环的吗？难道大质量天体就固定在那里一动不动的么？这与有理数与无理数的区别有什么瓜葛呢？

例如，测量海岸线，我们通常用千米，这样可以忽略精细结构的弯弯曲曲。

本来以[千米]精度测量的1万千米海岸线，如果以[微米]精度，其测量结果可能是100万千米。

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